Alexander Burggasser wurde 1975 in Wien geboren. Ersten Violinunterricht erhielt er im Alter von sieben Jahren bei Leopold Buchmann. Ab dem zwölften Lebensjahr studierte er bei Franz Samohyl an der Universität für Musik und darstellende Kunst in Wien, setzte 1999 sein Studium bei Jan Pospichal fort und schloss das Konzertfachstudium 2003 mit Auszeichnung ab. Meisterkurse bei Zakhar Bron vervollständigten sein Können.

Seine vielfältigen musikalischen Interessen führten den Musiker früh zur Kammermusik. So studierte er mit seiner Duopartnerin Susanna Koller Klavierkammermusik bei Avo Kouyoumdjian. Als duo-giocoso gestalteten die beiden Musiker zahlreiche Konzerte im In- und Ausland.

Von 2005 bis 2009 war Alexander Burggasser 1. Geiger des Auris Quartetts, seit 2015 ist er Primgeiger des HABE - Quartett Wien. Mit dem Ensemble konzertierte er unter anderem mit Julia Fischer und Philipp Jordan im Wiener Konzerthaus, in Tokyo und bei den Bregenzer Festspielen. 2019 erschien die Debut-CD des Quartetts mit Werken von Joseph Haydn und Ludwig van Beethoven.

2007 absolvierte Burggasser den Lehrgang für Ensembleleitung und Dirigieren an der Privat Universität Konservatorium Wien mit Auszeichnung.

Von 2000 bis 2011 war er Stimmführer der 1. Violinen im Orchester der Wiener Volksoper, seit Oktober 2011 ist er Konzertmeister der Wiener Symphoniker.