Nach einem Jungstudium an der Hochschule für Musik und Kunst in Bremen bei Prof. Maria Grevesmühl ging Martin Edelmann nach Wien, um bei Prof. Gerhart Hetzel und später bei Prof. Edward Zienkowski zu studieren. Im Jahr 1993 wechselte er zur Bratsche und in die Klasse von Prof. Siegfried Führlinger. Neben dem Studium bekam er künstlerische Impulse bei Meisterkursen von Felix Andriewsky, Sachar Bron, Max Rostal, Igor Ozim und später bei Kim Kashkashian und Barbara Westphal.

Bereits während seines Studiums spielte Martin Edelmann als Substitut an der Wiener Staatsoper und bei den Wiener Philharmonikern.

1994 war er Mitbegründer des „Hugo Wolf Quartetts“, in dem er fünf Jahre lang als Bratschist tätig war. Mit diesem Ensemble wurde er mehrfach ausgezeichnet, wie z.B. mit dem ersten Preis beim Internationalen Wettbewerb für Streichquartette in Cremona, dem ersten Preis beim nationalen Wettbewerb „Gradus ad Parnassum“ und dem Preis für das beste Streichquartett beim 45. Internationalem G. B. Viotti-Wettbewerb für Kammermusik in Vercelli.

Als Kammermusiker konzertierte er in bedeutenden Konzertsälen wie z.B. dem Herkulessaal München, der Tonhalle Zürich, dem Wiener Musikverein und Wiener Konzerthaus, dem Mozarteum Salzburg, im “Y” New York wie auch im Rahmen renommierter Festivals in Salzburg, beim Carinthischen Sommer, der Schubertiade Feldkirch oder beim Klangbogen Wien. Konzerttourneen führten ihn durch ganz Europa und Nordamerika.

Von 2007 bis 2019 war Edelmann Mitglied der Bratschengruppe des RSO Wien, seit September 2019 ist er bei den Wiener Symphonikern.